jueves, 25 de octubre de 2007

LOS NUMEROS REALES

INTRODUCCION


A lo largo de la historia vemos como los números han sido una herramienta que ha servido a la humanidad para controlar describir e interpretar situaciones que se presentan en un determinado contexto. Inicialmente en la agricultura y ganadería se empezaron a usar los números que conocemos como los NATURALES que son aquellos que empiezan en uno y avanzan de uno en uno hasta infinito(luego veremos una definición mas formal); luego cuando surgió el comercio, el hombre tuvo la necesidad de recurrir a otro conjunto de números mas amplio que pudiera describir situaciones que los números naturales no podían , este conjunto es el conjunto de los NUMEROS ENTEROS que al igual que los naturales avanzan de uno en uno , con la diferencia que tiene un elemento especial llamado cero que representa la ausencia de cantidad y además este conjunto tiene un grupo de elementos llamados los enteros negativos que avanzan de uno en uno alejándose de cero en dirección opuesta a la de los números naturales.

Los egipcios y griegos cuando empezaron a usar la geometría descubrieron que existían dos clases de conjuntos de números distintos entre si y que tampoco se parecían a los enteros , ni muchos menos a los naturales; estos conjuntos son LOS NUMEROS RACIONALES que provienen del cociente o división de dos números enteros listitos de cero y LOS IRRACIONALES que no pueden ser expresados como los racionales y que surgen por ejemplo en el hallazgo de la hipotenusa de un triangulo rectángulo isósceles con dos lados iguales a 1.

Pero cuando se descubrió el calculo hubo la necesidad de crear una teoría que fuera capaz de describir un conjunto que no dejara por fuera ninguno de los mencionados anteriormente y se llego a que este conjunto son LOS NUMEROS REALES formados por la unión de los racionales con los irracionales, teniendo en cuenta que los números naturales estaban contenidos en el conjunto de números enteros y estos a su vez estaban contenidos en el conjunto de los racionales.

A continuación describimos estos conjuntos de una manera más formal:

Los números naturales:

N = {1,2,3,4,5,6,...}


Los números enteros:



Z = (NU{0}UZˉ)


donde,

Zˉ = {-n: donde n es natural}

Los números racionales:

Q = { p/q: donde p y q son enteros y q≠ 0}

Los números irracionales:


Q' : Q∩Q'= Ø
algunos ejemplos:

-) 5.4547872399914526255763....
-) π
-) √2
-) e

Los numeros reales:


R= Q U Q'

Siendo este conjunto el objetivo de nuesto estudio.

AXIOMATIZACION A LA TEORIA DE NUMEROS REALES

Es importante destacar que las siguientes propiedades se cumplen cuando están alrededor de las operaciones “+” y “•” que denotan la suma y multiplicación de números reales, respectivamente; la suma la definimos como la adición de una distancia x a una un punto que se encentra a una distancia y de 0 y la multiplicación la definimos como la suma x-veces de un número y.

Ahora no debemos dejarnos confundir por los términos que denotaremos en este texto, por ejemplo hay que diferenciar entre definición, axioma, lema y teorema para no desviar el sentido e la forma como demostraremos propiedades de los reales. La definición se refiere a las características que identifican un elemento en particular; los axiomas son proposiciones que se refieren a propiedades intrínsecas de los elementos, que para poder hablar de propiedades hay que conocer las características implicando el uso de las definiciones requeridas, por ejemplo para hablar de ley conmutativa en la suma de reales hay que saber que son los reales, que es suma y que es una ley conmutativa; finalmente los teoremas son proposiciones las cuales deben ser demostradas para probar su grado de certeza, diferentes a los axiomas que no requieren demostración aceptándose siempre como verdades absolutas.

AXIOMAS EN R


(A1) La suma y la multiplicación o multiplicación de dos números reales x e y da como resultado un real.

x+y es un real,

x•y es un real

(A2) Los reales cumplen la ley conmutativa con la suma y el producto.

x+y=y+x

x•y=y•x


(A3) Los reales cumplen la ley asociativa con la suma y el producto.

x+(y+z)=(x+y)+z

x•(y•z)=(x•y)•z


(A4) Los reales cumplen la ley distributiva con la suma y el producto.

x•(y+z)=x•y+x•z

(x+y)•z=x•z+y•z


(A5) Para toda x real, existe un elemento 0 real llamado neutro aditivo tal que:

x+0=0+x=x

(A6) Para cada x real, existe un inverso aditivo (-x) real tal que.

x+(-x)=(-x)+x=0

(A7) Para toda x real diferente de cero, existe un elemento real 1 llamado neutro multiplicativo tal que:

x•1 = 1•x = x

(A8) Para cada real x diferente de cero, existe un inverso multiplicativo real (1/x) tal que:


x•(1/x)=(1/x)•x=1

AXIOMAS DE ORDEN

(A9) Para x, y postivos se tiene que z= x+y es positivo.

(A10) Para x, y postivos se tiene que z= x+y es positivo.

(A11) si x≠ 0 se tiene que x es positivo o que x es negativo pero no los dos simultaneamente.

(A12) Si x es negativo entonces (-x) es positivo.

nota: Aquí damos por hecho que 0,1,x,y,z son números reales.

DEFINICION 1.

x es positivo si y solo si x>0.

DEFINICION 2.

x es negativo si y solo si 0>x ó (-x)>0.

DEFINICION 3.

x-y
es positivo si y solo si x-y>0, lo que implica que x>y.

DEFINICION 4.

La igualdad (=) es una relación de equivalencia, es decir,

1. a=a (reflexiva)
2. si a=b entonces b=a (simétrica)
3. si a=b y b=c entonces a=c. (transitiva).

DEFINICION 5
Para toda x,y reales con y≠0 tenemos que: x•(1/y) = (x/y).

ALGUNOS TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES

A partir de los axiomas de R, los axiomas de orden y de las definiciones mostraremos algunas de las propiedades de los reales demostrándolas como teoremas que nos servirán para entender la naturaleza y comportamiento de este conjunto de números.
TEOREMA 1
En los números reales se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la suma, es decir:
i) Si x+y=x+z entonces y=z.
ii) Si y=z entonces x+y=x+z.

Demostración/:
i)
y = 0+y
y = ((-x)+x)+y
y = (-x)+(x+y)
y=(-x)+(x+z)
y =(-x)+(x+z)
y=((-x)+x)+z
y= =0+z
y==z
la anterior demostración se justifica usando el axioma 4, el axioma 5, ley asociativa, la hipótesis, ley asociativa, el axioma 5 y el axioma 4 respectivamente.
ii)Por ley reflexiva x+z=x+z pero como z=y entonces por ley transitiva x+z= x+y.

TEOREMA 2
Los neutros e inversos aditivos y multiplicativos son únicos.
Demostración/:
Supongamos que existen 01 y 02 dos neutros aditivos, entonces 01 + 02 = 01 y 02 +01 = 02 luego por ley transitiva y conmutativa 01= 01 + 02=02 +01 = 02.luego estos neutros aditivos son el mismo. (Análogamente se demuestra para el neutro multiplicativo).

Ahora supongamos que para x hay dos inversos aditivos x1 y x2 tal que x+ x1 = 0 y x+ x2 = 0 por ley transitiva tenemos que x+ x1 = x+ x2 luego por ley cancelativa x1 = x2. Luego los inversos aditivos para x real son el mismo. (Análogamente se demuestra para el inverso multiplicativo teniendo en cuenta que x≠0).



TEOREMA 3
En los números reales distintos de cero se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la multiplicación, es decir:

i) Si x•y=x•z entonces y=z.
ii) Si y=z entonces x•y=x•z.
Demostración/:
La demostacion es analoga a la del Teorema1.

TEOREMA 4
-0=0.
Demostración/:
Tenemos que 0+(-0) = 0 y 0+0 = 0 luego por ley transitiva 0+(-0) = 0+0, finalmente por ley cancelativa 0 = -0.

TEOREMA 5
Para x real se cumple: -(-x)= x.
Demostración/:
–(-x) = 0+(–(-x))=(x+(-x))+ (–(-x))= x+((-x)+ (–(-x)))= x+0=x.Podemos ver que usamos los axiomas 4 y 5 y el hecho de que (–(-x)) es el inverso aditivo de (-x).
LEMA
Para toda x real se cumple: x•0=0•x=0.
Demostración/:

x•0=x• (0+0) = x•0+x•0, luego x•0 = x•0+x•0 y por ley cancelativa 0 = x•0 ò x•0=0, de la misma forma demostramos que 0•x=0, por lo que concluimos que x•0=0•x=0.

TEOREMA 6
Para x, y reales se cumple: (-x) •y= x•(-y) = -(x•y).
Demostración/:
Por lema 0=0•y=(x+(-x)) 0•y = x•y+(-x) •y, entonces 0= x•y+(-x)•y y por ley uniforme se puede sumar -(x•y) y tenemos que -(x•y) = (-(x•y))+x•y+(-x)•y luego (x•y))+x•y=0 por lo que se tiene que: -(x•y) = 0+(-x)•y =+(-x)•y. Analogamente se demuestra que x•(-y)= -(x•y).

TEOREMA 7
Para x≠0 real se cumple: 1/(1/x)= x.
Demostración/:
Esta demostracion es parecida al adel teorema 5.

TEOREMA 8
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x•y)= (1/x)•(1/y).
Demostración/:
1/(x•y)=1•1•1/(x•y)
1/(x•y)= (x•(1/x)) • (y•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)= (x•y) • ((1/x)•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)=((1/x)•(1/y))• ((x•y) • 1/(x•y))
1/(x•y)= (1/x)•(1/y).
Aquí hemos usando en repetidas ocasiones propiedades como la ley conmutativa y asociativa para el producto y la existencia de los neutros e inversos multiplicativos.


TEOREMA 9
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x/y)= y/x.
Demostración/:
Aquí vemos como los Teoremas 7 y 8 son usados junto con las propiedades conmutativa y asociatativa del producto para demostrar lo requerido.
1/(x/y)= 1/(x •(1/y))=(1/x)•(1/(1/y))=(1/x) •y = y/x.

TEOREMA 10
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple: x/y + z/w = (x•w+ z•y)/ y•w.
Demostración/:
(x/y)+(z/w)= (x/y+z/w)•1
(x/y)+(z/w)= (x/y+z/w)•((y•w)(1/y•w))
(x/y)+(z/w)= ((x/y+z/w)(y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)= (x/y• (y•w)+z/w• (y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)= (x•w+ y•z)(1/y•w)
(x/y)+(z/w)= (x•w+ y•z)/(y•w)

Note que en esta demostración usamos los axiomas 2, 3, 6 y 7.

TEOREMA 11
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple: (x/y)• (z/w)= (x•z)/ (y•w).
Demostración/:
Al igual que en el teorema anterior aquí usamos la definición 5 los axiomas 2, 3 y los teoremas 8 y 9 .
(x/y)•(z/w)=((x/y)•z)/w
(x/y)•(z/w)= ((x•(1/y))•z)/w
(x/y)•(z/w)= (x•((1/y)•z)/w
(x/y)•(z/w)= (x•(z/y))/w
(x/y)•(z/w)= ((x•z)/y)/w
(x/y)•(z/w)= x•z/y•w.

TEOREMA 12
Para x, y y z reales se cumple: x>y si y solo si x+z>y+z.
Demostración/:
Sea a= x+z y b= y+z, entonces a-b=(x+z)-(y+z)=x-y como a>b si y solo si a-b>0 y por transitividad de a>b se deduce que x+z>y+z.
Por otro lado veamos que x+z > y+z si y solo si (x+z)-(y+z) >0 luego x-y >0 x>y.
TEOREMA 13
Para x, y y z reales con z distinto de cero se cumple:
i) x>y si y solo si x•z>y•z con z>0.
ii) x>y si y solo si y•z > x•z con 0>z.
Demostración/:
Si x>y si y solo si x-y >0 por lo tanto x-y es positivo, si z>0 entonces z tambian es positivo y por los axiomas de orden vemos que (x-y)•z es positivo si y solo si (x-y)•z >0
Si y solo si x •z -y•z>0 si y solo si x •z >y•z.

Si x>y si y solo si x-y >0 por lo tanto x-y es positivo, 0>z entonces (-z)>0 usando el mismo razonamiento que en i) llegamos a que y•z-x•z>0 si y solo si y•z >x•z.ii) se deduce de la misma forma.
TEOREMA 14
Para x, y reales distintos de cero se cumple:

i) Si x•y>0 con x>0 entonces y>0.
ii) Si x•y>0 con 0>x entonces 0>y.
iii) Si 0> x•y con x>0 entonces 0>y.
iv) Si 0> x•y con 0>x entonces y>0.

Demostración/:
Supongamos que no se cumple la tesis, es decir, 0>y como x>0 entonces por teorema 13 0>x•y llegando a la contradicción de la hipótesis o sea que lo afirmamos anteriormente es falso, llegando a la demostración del teorema (análogamente se demuestra para ii),iii) y iv).

TEOREMA 15
Para x≠0 real se cumple: x²>0 .
Demostración/:
Si x>0 entonces x es positivo luego x•x=x² es positivo si y solo si x²>0.Si 0>x entonces (-x) es positivo luego (-x)•(-x)=(-x)² es positivo si y solo si (-x)²>0.Pero (-x)•(-x)=-(x•(-x))=-(-(x•x))=x•x=x² por teorema 6, con lo que vemos que (-x)•(-x)= x²>0.

TEOREMA 16
Para x≠0 real se cumple:
i) x>0 si y solo si (1/x)>0.
ii) 0>x si y solo si 0>(1/x).

Demostración/:

Como x>0; x≠0 entonces existe (1/x), luego x•(1/x)=1 entonces.x>0 implica que x•1>0 si y solo si x• (x•(1/x)) >0, luego x²•(1/x )>0 y como x²>0 por teoremas 13 y 14 se deduce que 1/x>0.

Por otro lado 1/x>0; x≠0 entonces existe x, luego x•(1/x)=1 entonces.1/x>0 implica que (1/x)•1>0 si y solo si (1/x)• ((1/x)•x)) >0, luego (1/x)²•x>0 y como (1/x)²>0 por teoremas 13 y 14 se deduce que x>0.

La demostración de ii) es analoga.

Es muy interesante ver como de estas propiedades podemos deducir muchas mas lo que significa que los números reales son un conjunto muy complejo pero muy util, ya que muchos de los problemas que nos plantea la mayoria de las ciencias pueden ser resueltos con dichos números por ser ricos en propiedades. Sin embargo exiten otros conjuntos que son una extención de los reales que seirven para solucionar situaciones en donde se necesitan de numeros imaginarios que a partir de la teoría de los reales se pude definir propiedades análogas a las de los reales.